Quanta-Magazin

2. Februar 2023

Kristina Armitage/Quanta Magazine

Mitwirkender Korrespondent

2. Februar 2023

Vor über 60 Jahren stellte Ralph Fox ein Knotenproblem, das Mathematiker bis heute beschäftigt. Seine Frage wird heute oft als „Slice-Ribbon-Vermutung“ formuliert, die besagt, dass zwei scheinbar unterschiedliche Gruppen von Knoten tatsächlich gleich sind. Mit seinem Hinweis auf elegante Einfachheit in der Welt der Knoten ist es zu einem der bekanntesten Probleme in der Knotentheorie geworden. „Das würde bedeuten, dass die Welt etwas strukturierter ist, als man es sonst erwarten würde“, sagte Arunima Ray, Mathematikerin am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn.

Jahrzehntelang wurde ein bestimmter Knoten als möglicher Weg zur Klärung der Vermutung vermutet. Doch in einem letzten Sommer veröffentlichten Artikel stellten fünf Mathematiker fest, dass dieser Knoten doch nicht funktionieren wird. Während die von ihnen eingeführten Argumente neue Einblicke in eine breitere Klasse von Knoten liefern werden, lässt die Arbeit als Ganzes die Mathematiker hinsichtlich der Vermutung im Unklaren. „Ich denke, es gibt tatsächlich berechtigte Kontroversen darüber, ob es wahr sein wird oder nicht“, sagte Kristen Hendricks, Mathematikerin an der Rutgers University.

Die Slice-Ribbon-Vermutung betrifft zwei Arten von Knoten: Slice-Knoten und Ribbon-Knoten. Herauszufinden, welche Knoten gespalten werden, ist „eine der grundlegenden Fragen, um die sich unser Thema dreht“, sagte Abhishek Mallick, einer der Autoren des neuen Papiers.

Einen mathematischen Knoten kann man sich als eine gewöhnliche Schnurschlaufe vorstellen. Mathematiker nennen eine einfache Schleife ohne Knoten den „Unknoten“. (Obwohl dies kein Knoten im gewöhnlichen Sinne des Wortes ist, betrachten Mathematiker den gelösten Knoten als das einfachste Beispiel eines Knotens.)

Knoten definieren auch die Grenze einer Form, die Mathematiker eine Scheibe nennen, auch wenn sie nicht immer wie eine Scheibe im herkömmlichen Sinne des Wortes aussieht. Das einfachste Beispiel, der Unknoten, bildet die Grenze eines Kreises – einer „Scheibe“, die tatsächlich wie eine Scheibe aussieht. Die Schleife bildet aber nicht nur die Grenze eines Kreises, der flach auf einem Tisch liegt, sondern auch einer Schüssel, die sich in drei Dimensionen erstreckt und kopfüber auf dem Tisch liegt. Die durch Knoten definierten Scheiben können von drei auf vier Dimensionen erweitert werden.

Befindet sich ein Knoten in der Schnur, werden die Scheiben komplizierter. Im dreidimensionalen Raum weisen diese Scheiben Singularitäten auf – Punkte, an denen sie sich mathematisch schlecht verhalten. Scheibenknoten sind Knoten, bei denen es möglich ist, in vier Dimensionen eine Scheibe ohne solche Singularitäten zu finden. Scheibenknoten sind „das Nächstbeste nach dem Unknoten“, wie Peter Teichner, ebenfalls vom Max-Planck-Institut, es ausdrückte.

Trotzdem können die durch Schnittknoten in drei Dimensionen begrenzten Scheiben hässlich und schwierig zu bearbeiten sein. Die Slice-Ribbon-Vermutung besagt, dass dies nicht unbedingt der Fall sein muss.

Bandknoten sind Knoten, deren Scheiben Bändern ähneln. In drei Dimensionen können diese Bänder sich selbst durchdringen, so wie ein gewöhnliches Band durch einen Schnitt in der Mitte gezogen werden kann. Mathematisch wird ein solcher Durchgang als Bandsingularität bezeichnet. Im Gegensatz zu anderen Arten von Singularitäten kann die Bandsingularität leicht beseitigt werden, indem man sie in vier Dimensionen bewegt. Dadurch können Mathematiker leicht zeigen, dass alle Bandknoten scheibenförmig sind.

Das Gegenteil – dass jeder Slice-Knoten auch ein Band ist – ist die Slice-Ribbon-Vermutung, die seit Jahrzehnten eine offene Frage ist. (Um die Sache noch komplizierter zu machen, gibt es für Slice-Knoten mehrere verwandte Klassifizierungen, darunter „glattes Slice“ und „topologisches Slice“. Die Vermutung gilt nur für die Knotenart „glatt geschnitten“, was Mathematiker normalerweise mit „Slice“ meinen.)

Um die Vermutung zu widerlegen, reicht es aus, einen Knoten zu finden, der glatt geschnitten ist, aber kein Band. Jahrzehntelang hatten Mathematiker einen Kandidaten im Auge: das (2, 1)-Kabel des Achterknotens, das hergestellt wurde, indem eine zweite Schnur entlang eines Achterknotens gefädelt und dann die beiden Schnüre zu einem einzigen Knoten zusammengeführt wurden.

Im Jahr 1980 bewies Akio Kawauchi, dass dieser Knoten sowohl rational als auch algebraisch geschnitten ist, Eigenschaften, die denen eines glatten Schnitts ähneln, aber nicht ganz dieselben sind. Im Jahr 1994 bewies Katura Miyazaki, dass es sich nicht um ein Band handelt, und hinterließ damit eine spannende Eröffnung für Mathematiker. Wenn Kawauchis Ergebnis nur geringfügig verstärkt werden könnte, um zu zeigen, dass der Knoten glatt geschnitten ist, würde dies die Vermutung widerlegen.

Das neue Papier beweist, dass der fragliche Knoten doch nicht gespalten ist, und schlägt diese Tür zu.

„Die Slice-Ribbon-Vermutung hält immer noch an“, sagte Hendricks, der eng mit zwei der Autoren des neuen Papiers zusammengearbeitet hat. „Das ist sehr spannend, denn die Leute haben schon lange versucht, dieses Beispiel zu verstehen.“

Der neue Beweis basiert auf einer sogenannten verzweigten Doppelabdeckung. Sie können sich eine verzweigte Doppelhülle vorstellen, indem Sie sich eine Hohlkugel wie einen Basketball vorstellen. Um aus einem Basketball eine verzweigte Doppelhülle zu machen, schneiden Sie ihn entlang einer der Längengrade von oben nach unten auf. Ziehen Sie nun an der Stelle, an der Sie geschnitten haben, an einer Seite des Gummis und dehnen Sie es entlang des Äquators, bis sich das Material vollständig umschließt. Sobald Sie diese Transformation abgeschlossen haben, haben Sie einen Basketball aus zwei austauschbaren Materialschichten, daher die „doppelte Hülle“. (In diesem Szenario kann das Gummi nach Belieben gedehnt und gedreht werden, ohne zu brechen oder zu zerknittern.)

Das „verzweigt“ in „verzweigte Doppelhülle“ kommt von einer Eigenart der Transformation. Da Sie sich horizontal gedehnt haben, gibt es immer noch nur eine Schicht ganz oben und unten am Ball, am Nord- und Südpol. Diese Punkte werden Verzweigungspunkte genannt und ihre Anwesenheit macht die Doppelhülle zu einer verzweigten Doppelhülle.

Bei Knoten wird die verzweigte Doppelhülle so zusammengesetzt, dass die Verzweigungspunkte der Knoten selbst sind: die Punkte, die, wie der Nord- und Südpol des Basketballs, nur einmal abgedeckt werden.

„In der Vergangenheit war die Betrachtung doppelt verzweigter Deckblätter ein Standardwerkzeug“, sagte Jennifer Hom, Mathematikerin am Georgia Institute of Technology, die mit zwei der Autoren des neuen Papiers zusammengearbeitet hat. Dies liegt daran, dass – genau wie ein Basketball einen Luftball umgibt – die verzweigte Doppelhülle eines Scheibenknotens eine bestimmte vierdimensionale Form umgibt. Wenn Mathematiker zeigen können, dass die verzweigte Doppelhülle eines Knotens nicht die richtige 4D-Form umgibt, können sie die Möglichkeit ausschließen, dass es sich bei dem Knoten um eine Scheibe handelt.

Für das (2, 1)-Kabel des Achterknotens funktioniert dies jedoch nicht ganz: Seine verzweigte Doppelhülle umschließt tatsächlich die richtige Art von vierdimensionaler Form. Der Nachweis, dass das (2, 1)-Kabel des Achterknotens keine Scheibe ist, hängt von einer oft übersehenen Symmetrie der Form ab.

Wenn man die Oberfläche eines Basketballs dehnt, um eine verzweigte Doppelhülle zu bilden, kann man sich vorstellen, etwas Ähnliches wie den dreidimensionalen Luftball im Inneren zu tun. Wenn Sie das Gummi um den Ball ziehen, ziehen Sie einfach die Luft mit. So wie die beiden Gummischichten austauschbar sind, gibt es im Luftball zwei Halbkugeln, die beide an der gleichen Stelle landen. Mit anderen Worten: Die Symmetrie erstreckt sich von der Außenseite des Balls nach innen.

Auf die gleiche Weise reichen die Symmetrien auf der verzweigten Doppelhülle eines Scheibenknotens bis in den 4D-Raum hinein. Mathematiker ignorieren diese Symmetrie normalerweise, wenn sie zeigen wollen, dass Knoten keine Scheibenknoten sind. Aber in diesem Fall war es unerlässlich. Wenn die Autoren der neuen Arbeit zeigen könnten, dass es keine solche Symmetrie gibt, könnten sie daraus schließen, dass der Knoten kein Scheibenknoten ist.

„Weil sich die Frage nicht auf irgendeine Symmetrie bezieht, könnte man denken: Nun, wie kommt die Symmetrie ins Spiel, um etwas darüber auszusagen? Aber irgendwie, auf magische Weise, kommt in diesem Fall die Symmetrie ins Spiel und löst das Problem für Sie“, sagte Mallick, der die neue Arbeit zusammen mit Irving Dai von der Stanford University, JungHwan Park vom Korea Advanced Institute of Science and Technology und Matthew verfasst hat Stoffregen von der Michigan State University und Sungkyung Kang vom Institute for Basic Science in Südkorea.

„Wir wussten, dass diese Struktur da war. Aber einer der Gründe, warum die Leute es nicht studiert haben, ist, dass wir keine Möglichkeit hatten, den Überblick über diese Struktur zu behalten“, sagte Ray. „Um das zu erkennen, braucht man ein schickes, leistungsstarkes Werkzeug.“

Um das Argument vorzubringen, musste das Team tiefgreifende, komplizierte Mathematik im Zusammenhang mit dem Knoten und seinem umgebenden Raum anwenden und sich auf Symmetrien verlassen, die noch subtiler waren als die der verzweigten Doppelhülle. In zwei früheren Arbeiten hatten Dai, Mallick und Stoffregen einige dieser Eigenschaften berechnet. Als Kang letzten Sommer Stoffregen an der Michigan State University einen Besuch abstattete, während er immer noch an das (2, 1)-Kabel des Achterknotens dachte, wurde den Forschern schnell klar, dass diese Formeln das Problem seiner Schnittigkeit lösen würden. „Es gibt eine Intuition, die mir sagt, dass diese Berechnung funktionieren sollte“, sagte Kang. „Und allein durch die Berechnung sollten wir in der Lage sein, dieses Problem jetzt zu lösen.“

Ende Juli wurde ihr Artikel online gestellt und bewies, dass der Knoten tatsächlich nicht durchtrennt war. Die Ideen in dem Papier, sagte Park, sollten auf viele Knoten anwendbar sein, deren Sliceness derzeit fraglich ist. „Das ist erst der Anfang“, sagte er. Obwohl sich dieser Artikel auf einen bestimmten Knoten konzentriert, sagte Park, dass die von ihnen entwickelten Werkzeuge für weitaus allgemeinere Knotenfamilien funktionieren würden. Die Nicht-Scheibenheit des ursprünglichen Knotens sorgt jedoch dafür, dass die Scheiben-Band-Vermutung vorerst ungeklärt bleibt.

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