11 lustige Fakten zur Feier des Pi Day

Wie jedes Jahr steht nun der 14. März vor der Tür. Obwohl es viele Gründe gibt, diesen Tag zu feiern, dürften mathematisch begabte Einwohner eines Landes, das das Datum in (Monat/Tag)-Form schreibt, sofort von der Aussicht begeistert sein, die Zahlen „3“ und „14“ nebeneinander zu sehen. denn 3,14 ist bekanntermaßen eine gute Näherung für eine der bekanntesten Zahlen, die sich nicht einfach als einfache Ziffernfolge aufschreiben lässt: π. Ausgesprochen „pi“ und weltweit von Backbegeisterten als „Pi-Tag“ gefeiert, ist er auch eine großartige Gelegenheit, einige Fakten über π mit der Welt zu teilen.

Während die ersten beiden Fakten, die Sie hier über π lesen, im Allgemeinen sehr bekannt sind, bezweifle ich ernsthaft, dass irgendjemand, selbst ein echter Mathematiker, bis zum Ende der Liste vordringen und alle 11 dieser Fakten kennen wird. Folgen Sie uns und sehen Sie, wie gut Sie abschneiden!

1.) Pi, oder π, wie wir es von nun an nennen werden, ist das Verhältnis des Umfangs eines perfekten Kreises zu seinem Durchmesser . Eine der allerersten Lektionen, die ich je gegeben habe, als ich mit dem Unterrichten begann, bestand darin, dass meine Schüler einen beliebigen „Kreis“ von zu Hause mitbringen sollten. Es hätte eine Kuchenform, ein Pappteller, ein Becher mit rundem Boden oder Deckel oder irgendein anderer Gegenstand sein können, auf dem sich irgendwo ein Kreis befand, mit nur einem Haken: Ich würde Ihnen und Ihnen ein flexibles Maßband geben Ich müsste sowohl den Umfang als auch den Durchmesser Ihres Kreises messen.

Bei mehr als 100 Schülern in allen meinen Kursen dividierte jeder Schüler seinen gemessenen Umfang durch seinen gemessenen Durchmesser, was einen Näherungswert für π hätte ergeben sollen. Wie sich herausstellte, liegt der Durchschnitt immer irgendwo zwischen 3,13 und 3,15, wenn ich dieses Experiment durchführe und den Mittelwert aller Schülerdaten zusammenstelle. Oft landet er genau bei 3,14, was die beste dreistellige Näherung von π überhaupt ist . Die Annäherung an π ist leider die beste, die Sie tun können, obwohl es viele Methoden gibt, die besser sind als diese grobe Methode, die ich verwendet habe.

2.) π kann nicht exakt berechnet werden, da es unmöglich ist, es als Bruch einer exakten (ganzzahligen) Zahl darzustellen . Wenn Sie eine Zahl als Bruch (oder Verhältnis) zwischen zwei ganzen Zahlen, also zwei ganzen Zahlen mit entweder positiven oder negativen Werten, darstellen können, dann ist das eine Zahl, deren Wert Sie genau kennen können. Dies gilt für Zahlen, deren Brüche sich nicht wiederholen, wie 2/5 (oder 0,4), und es gilt für Zahlen, deren Brüche sich wiederholen, wie 2/3 (oder 0,666666…).

Aber π lässt sich, wie alle irrationalen Zahlen, nicht auf diese Weise darstellen und daher auch nicht exakt berechnen. Alles, was wir tun können, ist, π zu approximieren, und obwohl uns das mit unseren modernen mathematischen Techniken und Berechnungswerkzeugen sehr gut gelungen ist, gelingt uns dies auch historisch gesehen recht gut, sogar seit Tausenden von Jahren.

3.) Die „Methode des Archimedes“ wird seit mehr als 2000 Jahren zur Näherung von π verwendet . Die Berechnung der Fläche eines Kreises ist schwierig, insbesondere wenn Sie nicht bereits wissen, was „π“ ist. Die Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Polygons ist jedoch einfach, insbesondere wenn Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks kennen und wissen, dass jedes regelmäßige Polygon in eine Reihe gleichschenkliger Dreiecke zerlegt werden kann. Sie haben zwei Möglichkeiten:

Je mehr Seiten Sie Ihrem regulären Polygon hinzufügen, desto näher kommen Sie im Allgemeinen dem Wert von π. Im 3. Jahrhundert v. Chr. nahm Archimedes das Äquivalent eines 96-seitigen Polygons zur Annäherung an π und stellte fest, dass es zwischen den beiden Brüchen 220/70 (oder 22/7) liegen muss, weshalb der π-Tag in Europa der 22. von ist Juli) und 223/71. Die Dezimaläquivalente für diese beiden Näherungen sind 3,142857… und 3,140845…, was für mehr als 2000 Jahre ziemlich beeindruckend ist!

4.) Die als Milü bekannte Näherung für π, die vom chinesischen Mathematiker Zu Chongzhi entdeckt wurde, war die beste gebrochene Näherung für π seit etwa 900 Jahren: die längste „beste Näherung“ in der aufgezeichneten Geschichte . Im 5. Jahrhundert entdeckte der Mathematiker Zu Chongzhi die bemerkenswerte gebrochene Näherung von π: 355/113. Für diejenigen unter Ihnen, die die dezimale Näherung von π mögen: Dies ergibt 3,14159292035 … wodurch die ersten sieben Ziffern von π korrekt sind und nur etwa 0,0000002667 oder 0,00000849 % vom wahren Wert vom wahren Wert abweichen.

Wenn Sie tatsächlich die besten gebrochenen Näherungen von π als Funktion des zunehmenden Nenners berechnen:

Sie werden keinen besseren finden, bis Sie auf den Bruch 52163/16604 stoßen, der kaum besser ist. Während 355/113 um 0,00000849 % vom wahren Wert von π abwichen, weicht 52163/16604 um 0,00000847 % vom wahren Wert von π ab.

Dieser bemerkenswerte Bruch, 355/113, war die beste Näherung für π, die es bis zum späten 14./frühen 15. Jahrhundert gab, als der indische Mathematiker Madhava von Sangamagrama eine überlegene Methode zur Näherung von π entwickelte: eine Methode, die auf der Summierung unendlicher Reihen basierte .

5.) π ist nicht nur eine irrationale Zahl, sondern auch eine transzendente Zahl, die eine besondere Bedeutung hat . Um eine rationale Zahl zu sein, müssen Sie in der Lage sein, Ihre Zahl als Bruch mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner auszudrücken. Aus diesem Grund ist π irrational, aber das gilt auch für eine Zahl wie die Quadratwurzel einer positiven ganzen Zahl, beispielsweise √3. Es gibt jedoch einen großen Unterschied zwischen einer Zahl wie √3, die als „echte algebraische“ Zahl bekannt ist, und π, das nicht nur irrational, sondern auch transzendent ist.

Der Unterschied?

Wenn Sie eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Exponenten und Faktoren aufschreiben und nur Summen, Differenzen, Multiplikationen, Divisionen und Exponenten verwenden können, sind alle reellen Lösungen dieser Gleichung reelle algebraische Zahlen. Beispielsweise ist √3 eine Lösung der Polynomgleichung x² – 3 = 0, mit -√3 als anderer Lösung. Für transzendente Zahlen, einschließlich π, e und γ, gibt es jedoch keine derartigen Gleichungen.

Tatsächlich besteht eines der berühmtesten ungelösten Mathe-Rätsel der Geschichte darin, nur mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein Kreis zu erstellen. Tatsächlich kann der Unterschied zwischen den beiden Arten irrationaler Zahlen, reellen algebraischen und transzendentalen Zahlen, verwendet werden, um zu beweisen, dass die Konstruktion eines Quadrats, dessen Länge eine Seite von „√π“ hat, angesichts eines Kreises mit der Fläche „π“ und a unmöglich ist Zirkel und ein Lineal allein.

Dies wurde natürlich erst 1882 bewiesen, was zeigt, wie kompliziert es ist, etwas rigoros zu beweisen, das (wenn man sich anstrengt) in der Mathematik offensichtlich erscheint!

6.) Sie können π ganz einfach durch das Werfen von Pfeilen annähern . Möchten Sie π annähern, möchten aber keine fortgeschrittenere Mathematik betreiben als einfach nur „zählen“, um dorthin zu gelangen?

Kein Problem, nehmen Sie einfach einen perfekten Kreis, zeichnen Sie ein Quadrat darum herum, wobei eine Seite des Quadrats genau dem Durchmesser des Kreises entspricht, und beginnen Sie mit dem Dartwerfen. Das werden Sie sofort feststellen:

Solange Ihre Pfeile wirklich an einer zufälligen Stelle landen, werden Sie feststellen, dass das Verhältnis zwischen „den Pfeilen, die innerhalb des Kreises landen (Option 1)“ und „den Pfeilen, die innerhalb des Quadrats landen (Optionen 1 und 2 zusammen)“ zunimmt )“ ist genau π/4. Diese Methode zur Näherung von π ist ein Beispiel für eine in der Teilchenphysik sehr häufig verwendete Simulationstechnik: die Monte-Carlo-Methode. Wenn Sie tatsächlich ein Computerprogramm schreiben, um diese Art von Dartscheibe zu simulieren, dann herzlichen Glückwunsch, Sie haben gerade Ihre erste Monte-Carlo-Simulation geschrieben!

7.) Sie können π sehr gut und relativ schnell durch die Verwendung eines Kettenbruchs approximieren . Obwohl Sie π nicht als einfachen Bruch darstellen können, genauso wenig wie Sie es als endliche oder sich wiederholende Dezimalzahl darstellen können, können Sie es als etwas darstellen, das als Kettenbruch bekannt ist, oder als Bruch, bei dem Sie eine zunehmende Anzahl von Termen berechnen in seinem Nenner, um zu einer immer besseren (und genaueren) Annäherung zu gelangen.

Es gibt viele Beispiele für Formeln, die man wiederholt berechnen kann, um eine gute Näherung für π zu erhalten, aber der Vorteil der drei oben gezeigten besteht darin, dass sie einfach und unkompliziert sind und eine hervorragende Näherung mit nur einer relativ kleinen Zahl liefern von Begriffen. Wenn man beispielsweise nur die ersten 10 Terme der gezeigten letzten Reihe verwendet, erhält man die ersten 8 Ziffern von π korrekt, mit nur einem kleinen Fehler in der 9. Ziffer. Mehr Begriffe bedeuten eine bessere Annäherung, Sie können also so viele Zahlen eingeben, wie Sie möchten, und sehen, wie zufriedenstellend es sein kann!

8.) Nach 762 Stellen von π gelangen Sie zu einer Folge von sechs aufeinanderfolgenden Neunen: bekannt als Feynman-Punkt . Jetzt betreten wir ein Gebiet, das einige ziemlich tiefgreifende Berechnungen erfordert. Einige haben sich gefragt: „Welche Muster sind in der Zahl π eingebettet?“ Wenn Sie die ersten 1.000 Ziffern ausschreiben, können Sie einige interessante Muster finden.

Warum ist das so bemerkenswert? Denn der Physiker Richard Feynman bemerkte, dass er, wenn er sich π an den „Feynman-Punkt“ merken könnte, die ersten 762 Ziffern von π aufsagen und dann sagen könnte: „neun-neun-neun-neun-neun-neun und so weiter…“ und so weiter wäre äußerst befriedigend. Es stellt sich heraus, dass, obwohl nachgewiesen werden kann, dass alle aufeinanderfolgenden Ziffernkombinationen irgendwo in π vorkommen, Sie eine Folge von 7 identischen Ziffern in einer Reihe erst finden, wenn Sie fast 2 Millionen Ziffern von π ausgeschrieben haben!

9.) Sie können π hervorragend mit einer Genauigkeit von 31 Stellen annähern, indem Sie zwei banal erscheinende irrationale Zahlen dividieren . Eine der bizarrsten Eigenschaften von π ist, dass es an einigen wirklich unerwarteten Stellen auftaucht. Obwohl die Formel eiπ = -1 wohl die berühmteste ist, ist vielleicht eine bessere und noch bizarrere Tatsache folgende: Wenn man den natürlichen Logarithmus einer bestimmten 18-stelligen ganzen Zahl, 262.537.412.640.768.744, nimmt und diese Zahl dann durch die Quadratwurzel dividiert Von der Zahl 163 erhalten Sie eine Zahl, die in den ersten 31 Ziffern mit π identisch ist.

Warum ist das so und wie haben wir eine so gute Näherung für π erhalten?

Es stellt sich heraus, dass der Mathematiker Charles Hermite im Jahr 1859 entdeckte, dass die Kombination von drei irrationalen (und zwei transzendenten) Zahlen e, π und √163 eine sogenannte „ungefähre ganze Zahl“ ergibt, indem er sie auf folgende Weise kombiniert: eπ√163 ist fast genau eine ganze Zahl. Die ganze Zahl, die es fast ist? 262.537.412.640.768.744; Tatsächlich „entspricht“ es 262.537.412.640.768.743,99999999999925…, wenn man also diese Formel umstellt, erhält man diese unglaublich gute Näherung für π.

10.) Vier berühmte Physik-/Astronomie- und Weltraumhelden aus der Geschichte haben am π-Tag Geburtstag . Schauen Sie sich das Bild oben an und Sie werden eine Collage aus vier Gesichtern sehen, die Menschen unterschiedlicher Berühmtheit in Physik-/Astronomie-/Weltraumkreisen zeigen. Wer sind Sie?

11.) Und es gibt einen berühmten Sternhaufen, der wirklich wie ein „π“ am Himmel aussieht ! Schauen Sie sich das Bild oben an. können Sie es sehen? Diese „malerische“ Ansicht zeigt den offenen Sternhaufen Messier 38, den Sie finden können, indem Sie den hellen Stern Capella, den dritthellsten Stern auf der nördlichen Himmelshalbkugel hinter Arcturus und Rigel, ausfindig machen und sich dann um etwa ein Drittel bewegen. der Weg zurück nach Beteigeuze. Genau an dieser Stelle, bevor Sie den Stern Alnath erreichen, finden Sie den Standort des Sternhaufens Messier 38, wo ein rot-grün-blaues Farbkomposit deutlich eine vertraute Form erkennen lässt.

Im Gegensatz zu den neuesten, jüngsten Sternhaufen da draußen wird keiner der verbleibenden Sterne in Messier 38 jemals zur Supernova werden; Dafür ist die Masse der Überlebenden viel zu gering. Die massereichsten Sterne innerhalb des Sternhaufens sind bereits gestorben, und jetzt, etwa 220 Millionen Jahre nach der Entstehung dieser Sterne, sind nur noch Sterne der A-Klasse, F-Klasse, G-Klasse (sonnenähnlich) und kühlere Sterne übrig. Und bemerkenswerterweise bilden die hellsten und blauesten Überlebenden eine ungefähre π-Form am Himmel. Obwohl es vier weitere Sternhaufen gibt, die relativ nahe sind, hat keiner von ihnen etwas mit Messier 38 zu tun, der 4.200 Lichtjahre entfernt ist und Hunderte, vielleicht sogar Tausende von Sternen enthält. Um einen echten Blick auf π-in-the-Sky zu werfen, suchen Sie einfach diesen Sternhaufen und schon können Sie den Anblick genießen!

Ich wünsche Ihnen allen einen schönen Tag und feiern Sie ihn auf eine süße und gebührende Art und Weise!